Системы счисления

1. Запись некоторого натурального числа X в шестнадцатеричной системе счисления имеет ровно три значащих разряда. Это число увеличили в два раза, и оказалось, что запись получившегося числа Y в шестнадцатеричной системе также имеет ровно три значащих разряда, причем сумма цифр шестнадцатеричной записи исходного числа X равна сумме цифр шестнадцатеричной записи полученного числа Y. Сколько существует таких чисел X, которые удовлетворяют указанным условиям и при этом содержат хотя бы одну цифру 2 в своей шестнадцатеричной записи? В ответе укажите целое число. 
2. Определите, для какого основания системы счисления Х выполняется следующее равенство:
   0,1_X * 6₁₀ = 12_X * 0,25₁₀ 
   В ответе укажите целое число.
3. Дано арифметическое выражение, все числа которого записаны в шестнадцатеричной системе счисления:
   
   
   
   Посчитайте сумму цифр числа, являющегося результатом вычисления этого выражения и записанного также в шестнадцатеричной системе счисления. Запишите полученную сумму в ответ в десятичной системе счисления.
4. Запись некоторого числа в шестнадцатеричной системе счисления состоит из 24 цифр. Известно, что при этом использовались только цифры A и F.
   Перечислите через пробел в порядке возрастания цифры, которые не могут встретиться в записи этого числа в восьмеричной системе счисления.
5. Вычислить значение выражения:
    ((4008 – 8016) * (1000002 + 1004)) / ((20016 - 6008) * (104 + 1002)) = ? 10. 
6. Решить уравнение: 1100₂*х₁₆=10011100₂, где 2 и 16 основания систем счисления. Ответ укажите в шестнадцатеричной системе счисления. 
7. Дано арифметическое выражение, все числа которого записаны в шестнадцатеричной системе счисления:
   А*8F-1
   Посчитайте сумму цифр числа, являющегося результатом вычисления этого выражения и записанного также в шестнадцатеричной системе счисления. В ответе запишите полученную сумму в десятичной системе счисления.
8. Десятичное число 10,2 перевели в восьмеричную систему счисления и записали в форме восьмеричной дроби. Определите значение цифры с десятичным номером 2017 в записи полученного числа. Для нумерации цифровых разрядов используются натуральные числа, и она начинается со старшего разряда числа.
9. Число X в системе счисления с основанием n (n<31) записывается как 4840. Известно, что это число делится нацело на десятичное число 11. Найти все возможные значения основания n. В ответе укажите сумму этих значений.
10. Однажды учитель обнаружил, что кто-то испортил ответ ученика. Работа была выполнена в различных системах счисления. Но что интересно, восстановить исходные цифры не сложно.
    

        
11. Сколько существует различных пар натуральных чисел, таких что: 1. Оба числа, записанные в пятеричной системе счисления, имеют ровно по три значащих разряда. 2. Сумма этих чисел, записанная в пятеричной системе счисления, содержит только цифры «1». Пары чисел, отличающиеся только порядком следования чисел в паре, считаются одинаковыми. В ответе укажите целое число.
12. Определите, какие слова должны быть записаны во второй строке:
    
    

    1, 10, 11, 100, 101,

    
    

    ...
13. Чему равно наименьшее основание позиционной системы счисления Y, при котором 225_X=14_Y? Ответ записать в виде целого числа.
14. Знайка научился считать в системе счисления, отличной от десятичной. Вместо 134 он пишет в этой системе 342. В ответе укажите числом основание системы счисления.
    
15.    Какие из предложенных чисел, записанных в различных системах счисления, являются нечетными?
    1.    100010₂                                         
    2.    AD₁₆                                              
    3.    35₇                                                 
    4.    32₅ 
          5.  1A₁₂
16. При каком основании системы счисления имеет решение следующий ребус: WZXYX + WZYX = YXWZX  
17. В числовом ребусе одинаковые цифры представлены одинаковыми буквами, а различные — разными. Решите числовой ребус в шестеричной системе счисления: ММУУ = УУ * УУ.  Указание по выполнению. Составьте таблицу умножения в шестеричной системе счисления и проанализируйте ее.    
18.  Дан ребус: КИС+КСИ=ИСК, в котором одинаковыми буквами зашифрованы одинаковые цифры. В позиционных системах счисления с какими основаниями (1<q≤16) данный ребус имеет решение? Почему? Найдите все такие решения.
19. Укажите наименьшее возможное основание системы счисления N, при котором выполняется равенство: 100N+1 = 101N + 30K .  Ответ обосновать.
20. Может ли при каком-либо значении р число (112)_р+2  равняться числу (1214)_р? Ответ обосновать.

          
ОТВЕТЫ:
1. -
2. 4 (решение)
3. 57 (решение)
4. -
5. -
6. D (решение)
7. -
8. -
9. -
10. -
11. -
12. -
13. -
14. -
15. -
16. -
17. -
18. -
19. 3 (решение)
20. НЕТ (решение)